La paradoja de San Petersburgo es un dilema que ha fascinado a los matemáticos, filósofos y economistas a lo largo de los siglos. Un juego aparentemente sencillo cuya solución tiene grandes implicaciones. Cuando se analiza en detalle el juego este obliga a plantearse profundas cuestiones sobre la teoría de probabilidad, la toma de decisiones y la percepción del riesgo. El problema se conoce desde el siglo XVIII. La formulación original de la paradoja cuya formulación original aparece en una carta de Nicolaus Bernoulli fechada el 9 de septiembre de 1713 y que fue enviada a Pierre de Montmort. En esta entrada se realizará una exposición de la paradoja, para examinar los resultados aparentemente contradictorios y analizar las consecuencias de esta.
Invitación a un juego de azar
La paradoja de San Petersburgo comienza con la invitación a participar en un juego de azar en el que se lanza una moneda hasta que aparece por primera vez una cara. La recompensa que logra el jugador se duplica en cada tirada. Esto es, si por la primera cruz el jugador obtiene por ejemplo un Euro, por la segunda serán dos, por la tercera cuatro y así hasta que salga la primera cara. Si en la primera tirada sale una cara el jugador no recibe ninguna recompensa. Matemáticamente la recompensa obtenida se puede expresar como 2^{n-1} donde n es la cantidad de cruces que salen antes de la primera cara.
Ahora la pregunta es ¿cuál es la cantidad máxima que estaría dispuesto a pagar para participar en este juego?
Usando la esperanza matemática para calcular la cantidad a pagar
El método más adecuado para estimar la cantidad máxima que se debería pagar para participar en el juego es calcular la esperanza matemática (algo que también deberíamos hacer antes de jugar a la lotería u otros juegos de azar como la ruleta). Esto es, las ganancias esperadas que se pueden obtener. Para ello, simplemente se tiene que sumar el producto de todas las posibles recompensas que se pueden obtener por la probabilidad de estas. Así se sabe que la probabilidad de obtener una cruz, si la moneda no está trucada, es de \frac{1}{2}, dos cruces seguidas es de \frac{1}{4} y en generar la probabilidad de obtener n cruces seguidas es de \frac{1}{2^n}.
Ahora, conocidas las probabilidades y las recompensas que se pueden obtener en el juego, la esperanza matemática o ganancia esperada se puede obtener fácilmente E = \frac{1}{2} 1 + \frac{1}{4} 2 + \frac{1}{8} 4 + \ldots + \frac{1}{2^n} 2^{n-1} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} 2^{n-1} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2} = \infty. Esto es esperanza matemática de participar en el juego es infinita, por lo que cualquier cantidad para participar en el juego está justificada.
La paradoja de San Petersburgo: las decisiones matemáticas frente las decisiones humanas
El hecho de que el juego tenga una esperanza matemática infinita es algo que entra en conflicto con la intuición y experiencia cotidiana. Además de la falta de racionalidad económica. La paradoja surge al contrastar los resultados matemáticos con la toma de decisiones práctica.
En las situaciones cotidianas nunca nos encontramos con la posibilidad de obtener una ganancia infinita. Las expectativas y decisiones siempre están limitadas por una cantidad de recursos finitos. Por ejemplo, el tiempo, sería necesario jugar un tiempo infinito para obtener la recompensa infinita, tiempo del que no se dispone. Así, el concepto de un valor esperado infinito va en contra de la intuición basada en experiencia finita.
Además, también se debe tener en cuenta el efecto de la adveración al riesgo. Un concepto que es importante en la teoría económica. En situaciones de esperanza infinita, las personas pueden mostrar una adhesión al riesgo y no estar dispuestas a apostar grandes sumas de dinero debido a la incertidumbre de una posible pérdida.
En resumen, la paradoja de una esperanza infinita destaca la brecha entre las abstracciones matemáticas y las decisiones prácticas en la vida real. Aunque desde un punto de vista matemático la esperanza infinita puede tener sentido, las limitaciones y las preferencias humanas introducen complejidades que desafían la aplicación directa de estos conceptos en la toma de decisiones cotidiana.
Conclusiones
La paradoja de San Petersburgo pone de relieve la diferencia que existe entre los conceptos matemáticos de infinito y la experiencia donde los recursos y ganancias esperadas son finitos. A pesar de que el juego propuesto ofrece una esperanza matemática infinita, no parece razonable apostar una cantidad infinita en el juego.
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