Método de la interpolación cuadrática inversa e implementación en Python

El método de la interpolación cuadrática inversa es un algoritmo para localizar las raíces de funciones. La idea básica detrás de este método es utilizar una interpolación cuadrática de la función, para la que se usan tres puntos, y obtener emplear la raíz de esta como aproximación del resultado buscado. Veamos más en detalle los fundamentos de este método y como se puede hacer una implementación en Python.

El método de la interpolación cuadrática inversa

La interpolación cuadrática inversa es un método similar al de la secante donde se utilizan tres puntos para interpolar la curva mediante un polinomio. Interpolación que es una aproximación de la función original en la que es fácil calcular su raíz. Si se hace un proceso iterativo en el cual se aproximan cada vez más los puntos, se puede llegar rápidamente a una aproximación de la raíz de la función original.

El método de interpolación cuadrática inversa usa los polinomios de Lagrange para aproximar la función. Los polinomios de Lagrange son: $L(x) = \sum_{j=0}^{k} y_j l_j (x),$ donde $l_j(x) = \prod_{0 \leq i \leq k , i \neq j} \frac{x - x_i}{x_j - x_i}.$

La interpolación se realiza con tres puntos para obtener una curva polinómica de segundo grado. Para ello se crean tres curvas $l(x)$ de grado dos, donde cada una de las curvas es igual a cero cuando $i \neq j$ y aproxima el valor de $f(x)$ en el resto de los puntos. Algo que se garantiza por usar los polinomios de Lagrange. De este modo se tienen tres curvas, pasando cada una de ellas por uno de los puntos interpolados y cuya combinación lineal se puede aproximar a la función original.

Implementación del método de interpolación cuadrática inversa

Los pasos para implementar el método de interpolación cuadrática inversa:

Escoger tres puntos iniciales distintos en la curva de la función no lineal $f(x)$ , por ejemplo, $x_0$ , $x_1$ y $x_2$ . Estos puntos deben ser elegidos de manera que el valor de f(x) sea conocido en cada uno de ellos.
Construir una función cuadrática que pase por los tres puntos elegidos en el paso 1.
Resolver la ecuación $f(x) = 0$ para $x$ , es decir, encontrar el valor de $x$ tal que la función cuadrática sea igual a cero. Esto se puede hacer utilizando la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.
Si el valor de $x$ encontrado en el paso 3 no cumple con la precisión deseada, volver al paso 1 y escoger nuevos puntos iniciales.
Si el valor de $x$ encontrado en el paso 3 cumple con la precisión deseada, se puede considerar como una aproximación de la solución de la ecuación no lineal.

En Python el método se puede implementar con el síguete código:

def quadratic_interpolation(f, x0, x1, x2, tol=1e-8, max_iter=100):
    """Implementa el método de interpolación cuadrática inversa para aproximar la solución de una ecuación no lineal.

    Parameters
    ----------
    f : function
        Función no lineal para la cual se desea aproximar la solución.
    x0 : float
        El primer punto inicial.
    x1 : float
        El segundo punto inicial.
    x2 : float
        El tercer punto inicial.
    tol : float, optional
        Tolerancia para la aproximación de la solución. El valor por defecto es 1e-8.
    max_iter : int, optional
        Número máximo de iteraciones permitidas. El valor por defecto es 100.

    Returns
    -------
    float
        Aproximación de la solución de la ecuación no lineal.

    Raises
    ------
    ValueError
        Si no se alcanza la tolerancia en el número máximo de iteraciones.

    Notes
    -----
    El método de interpolación cuadrática inversa puede no converger en algunos casos, por lo que se recomienda probar diferentes puntos iniciales si se obtiene una solución incorrecta o si la función lanza una excepción.

    Examples
    --------
    >>> f = lambda x: x**3 - x**2 - x - 1
    >>> x0, x1, x2 = 0, 1, 2
    >>> x = quadratic_interpolation(f, x0, x1, x2)
    >>> print(x)
    1.8392867550506584
    """

    for _ in range(max_iter):
        # Evalúa la función en los tres puntos de interpolación
        fx0 = f(x0)
        fx1 = f(x1)
        fx2 = f(x2)

        # Construir la función cuadrática que pasa por los puntos x0, x1 y x2
        l0 = (x0 * fx1 * fx2) / ((fx0 - fx1) * (fx0 - fx2))
        l1 = (x1 * fx0 * fx2) / ((fx1 - fx0) * (fx1 - fx2))
        l2 = (x2 * fx1 * fx0) / ((fx2 - fx0) * (fx2 - fx1))
        xn = l0 + l1 + l2

        # Revisar si se ha alcanzado la tolerancia
        if np.abs(xn - x0) < tol:
            return x0

        x2 = x1
        x1 = x0
        x0 = xn

    # Si no se alcanzó la tolerancia en el número máximo de iteraciones
    raise ValueError(f"No se alcanzó la tolerancia en {maxiter} iteraciones.")

Validación del método

Para validar el método se puede ver como esta función puede encontrar la raíz de la función $f(x) = x^3 - x^2 -1,$ lo que se muestra en el siguiente código:

# Definir la función no lineal
f = lambda x: x**3 - x**2 - x - 1

# Aproximar la solución de la ecuación no lineal utilizando el método de interpolación cuadrática inversa
x = quadratic_interpolation(f, 0, 1, 2)

# Imprimir la solución
print(f"La solución aproximada de la ecuación no lineal es: {x} con valor {f(x)}")

La solución aproximada de la ecuación no lineal es: 1.8392867550506584 con valor -8.944174290093088e-10

Conclusiones

El método de la interpolación cuadrática inversa qué es un algoritmo eficaz cuando se desea buscar raíces de funciones complicadas. Su implementación en Python es relativamente sencilla, lo que lo hace un candidato para resolver obtener raíces de funciones complejas.

Imagen de Egor Shitikov en Pixabay