Probabilidad de ganar en Bonoloto o Lotería Primitiva

La semana pasada calculamos la probabilidad de ganar en Euromillones, una lotería a nivel que se juega en varios países europeos. En España existen otras loterías similares como la Bonoloto o Lotería Primitiva en las que es más fácil ganar, aunque los premios son menores. Concretamente la probabilidad de ganar a cualquiera de estos juegos es de 1 entre 13.983.816. Es decir, 10 veces más fácil que obtener la combinación ganadora de Euromillones. Hoy vamos a repetir el ejercicio que hicimos la semana pasada para comprobar la probabilidad de ganar en Bonoloto o Lotería Primitiva.

Bonoloto o Lotería Primitiva

Tanto en Bonoloto como en Lotería Primitiva es necesario acertar una combinación de seis números de cuarenta y nueve. La cantidad de combinaciones se puede calcular mediante el coeficiente binomial:

{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Así usando esta expresión se puede obtener el número de combinaciones para ambos juegos: 13.983.816.

Junto a la combinación existe un reintegro, un único número entre cero y nueve, que se juega de forma independiente para recuperar los jugado. Reintegro que se acumula a cualquier premio ganado. El cual se puede ignorar ya que es como jugar en un segundo juego donde se recupera lo jugado con una probabilidad del 10%.

Probabilidad de obtener cinco más el complementario

Además, se extrae un séptimo número, llamado complementario, que da derecho a un premio secundario si se acierta cinco de la principal más este.

El número de posibles combinaciones en las que se acierta cinco más el complementarios son seis. Ya que hay que acertar cinco de los seis números premiados y siendo el sexto solamente uno, el complementario. Así la probabilidad de obtener esta combinación es de 6 / 13.983.816.

Para calcular la probabilidad de acertar cinco números, o menos, se puede usar la expresión vista la semana pasada.

{n-k \choose f} {n \choose n-f}

donde n es la cantidad de número, k son los números de la combinación premiada y f la cantidad de números no acertados. Teniendo en cuenta que hay que sustraer las seis combinaciones de cinco más el complementario a las combinaciones de cinco.

Tablas con las probabilidades por categoría

Al igual que la semana pasada se puede mostrar las combinaciones y probabilidades para cada una de las categorías.

En este caso se puede ver que acerar un único número (41,3%) es solamente un poco más difícil que no acertar ninguno (43,6%). Por ninguno de los dos casos es especial. Eso sí, el mínimo de acierto necesarios para obtener un premio es de 3, por lo que es más difícil que en el caso de Euromillones donde la primera categoría con premio es 4% (dos aciertos con ninguna estrella). Aunque no debemos olvidar que en la Bonoloto y Lotería Primitiva hay un 10% de probabilidades de recuperar lo jugado.

Conclusiones

Al igual que hemos visto la semana pasada una vez calculada la probabilidad de ganar en Bonoloto o Lotería Primitiva podemos ver lo difícil que. En caso de jugar una apuesta todos los días del año necesitaríamos espera 38.312 años par jugar todas la combinaciones posibles.

Imágenes: Pixabay (Hermann Traub)