Recientemente un amigo me pregunto cuál es la probabilidad de ganar al Euromillones. Una lotería que se juega en varios países europeos donde es necesario acertar una combinación de 5 números de 50 y otra de 2 números de 12 a los que se llama estrellas. Esto hace que la probabilidad de ganar el premio principal en este juego sea baja, ya que existen 139.838.160 posibles combinaciones. Lo que explica que, a pesar de jugarse en varios países de europeos a la vez, generalmente no aparecen ganadores de primera categoría.
Además de la primera categoría de premios existen otras, a continuación, se va a explicar cómo a calcular el número de combinaciones existentes para cada uno de estos premios. Con lo que se puede calcular la probabilidad de ganar algún premio.
Número de combinaciones
Para poder conocer cuál es la probabilidad de ganar a un juego de azar como Euromillones en primer lugar es necesario conocer cuántas combinaciones existen. Esto es, obtener el número de formas que existen para escoger k elementos de un conjunto de n. Lo que se puede obtener mediante el coeficiente binomial
{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
En el caso del Euromillones hay que escoger 5 elementos de un conjunto de 50 y 2 de uno de 12. Por lo que el número de combinaciones totales es el producto de las de los dos casos. Así se puede obtener como resultado:
{50 \choose 5} {12 \choose 2} = 2118760 * 66 = 139838160
Es decir, la probabilidad de ganar el premio principal es de solamente 0,0000007%
Probabilidad de ganar un premio secundario
Obtener la probabilidad de ganar un premio secundario requiere saber cuantas combinaciones hay en cada uno de estos. Esto es, se ha de calcular el cómo repartir los números no premiados entre los fallos, teniendo en cuenta el número de repeticiones. Para el caso de una única combinación este valor se puede obtener mediante la expresión
{n-k \choose f} {n \choose n-f}
en donde f representa el número de fallos permitidos en la categoría. Así el número de combinaciones en los que se falla una estela son
{10 \choose 1} {2 \choose 1} = 20
Por otro lado, las combinaciones en los que se falla un número del conjunto principal son:
{45 \choose 1} {5 \choose 4} = 225
Tabla con las probabilidades por categoría
Ahora se puede utilizar los cálculos para ver la probabilidad de obtener una combinación con un número concreto de aciertos. Esto es lo que se muestra en la siguiente tabla.
| Aciertos | Estrellas | Combinaciones | Probabilidad (%) |
| 5 | 2 | 1 | 0,0000007 |
| 5 | 1 | 20 | 0,000014 |
| 5 | 0 | 45 | 0,000032 |
| 4 | 2 | 225 | 0,00016 |
| 4 | 1 | 4500 | 0,0032 |
| 4 | 0 | 10125 | 0,0072 |
| 3 | 2 | 9900 | 0,0071 |
| 3 | 1 | 198000 | 0,1416 |
| 3 | 0 | 445500 | 0,3186 |
| 2 | 2 | 141900 | 0,1015 |
| 2 | 1 | 2838000 | 2,0295 |
| 2 | 0 | 6385500 | 4,5664 |
| 1 | 2 | 744975 | 0,5327 |
| 1 | 1 | 14899500 | 10,65 |
| 1 | 0 | 33523875 | 23,97 |
| 0 | 2 | 1221759 | 0,8737 |
| 0 | 1 | 24435180 | 17,47 |
| 0 | 0 | 5479155 | 39,32 |
Pudiéndose apreciar que la probabilidad de no acertar ningún número es de casi el 40%. Por lo que no debería ser extraño obtener este resultado a la hora de jugar.
Conclusiones
En esta entrada se ha visto cual es la probabilidad de ganar al Euromillones. Algo que es realmente poco probable. Aún menos que otros juegos como la Lotería de Navidad.
Imágenes: Pixabay (LesColporteurs)
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