Cómo determinar el número de componentes en PCA usando el Criterio de Kaiser

El análisis de componentes principales (PCA, por sus siglas en inglés) es una de las herramientas más populares para reducir la dimensionalidad de los conjuntos de datos. Sin embargo, uno de los mayores desafíos al trabajar con PCA es decidir cuántos componentes principales conservar para capturar la mayor cantidad de información posible sin incluir ruido innecesario. Una estrategia popular para abordar este problema es el Criterio de Kaiser, que se basa en la magnitud de los valores propios (eigenvalues) asociados a los componentes principales. Este método se presenta como una alternativa al criterio de la varianza explicada acumulada, que se exploró en una entrada anterior.

En esta entrada, se explicará en detalle cómo funciona el Criterio de Kaiser, se mostrará un ejemplo práctico utilizando datos reales y se proporcionará una función en Python para automatizar su aplicación.

¿Qué es el Criterio de Kaiser?

El Criterio de Kaiser es una regla sencilla y práctica para decidir cuántos componentes principales conservar en un análisis PCA. Según este criterio, únicamente deben conservarse aquellos componentes cuyos valores propios (eigenvalues) sean mayores que 1. Esto se debe a que un valor propio mayor que 1 indica que el componente explica más varianza que las variables originales estandarizadas, cuya varianza es igual a 1.

En Scikit-learn, este criterio se aplica fácilmente utilizando el atributo explained_variance_ de la clase PCA. Este atributo proporciona los valores propios de la matriz de covarianza o correlación de los datos transformados, que representan la varianza explicada por cada componente principal. Por tanto, explained_variance_ es fundamental para implementar el Criterio de Kaiser de forma rápida y precisa.

¿Por qué funciona el Criterio de Kaiser?

Los valores propios son una medida directa de la cantidad de varianza que cada componente principal captura en el espacio transformado. Si un valor propio es mayor que 1, significa que el componente está capturando más información que una variable original estandarizada. Esto lo convierte en un componente valioso para describir las relaciones subyacentes en los datos. Por el contrario, un valor propio menor o igual a 1 sugiere que el componente no aporta suficiente información adicional y puede ser descartado sin pérdida significativa.

Limitaciones del Criterio de Kaiser

Aunque el Criterio de Kaiser es ampliamente utilizado por su simplicidad, presenta algunas limitaciones que deben considerarse:

• Subestimación o sobreestimación: En conjuntos de datos con muchas variables, el criterio tiende a seleccionar demasiados componentes. Por otro lado, en conjuntos de datos pequeños, puede seleccionar menos componentes de los necesarios.
• Falta de flexibilidad: Este criterio no tiene en cuenta el contexto específico del análisis o la naturaleza de los datos. En algunos casos, puede ser necesario combinarlo con otros enfoques, como el gráfico de sedimentación (scree plot) o un porcentaje mínimo de varianza explicada acumulada (por ejemplo, entre el 70% y el 90%).

¿Cómo aplicar el Criterio de Kaiser en Scikit-learn?

Para aplicar este criterio en Scikit-learn, los pasos son los siguientes:

1. Calcular el PCA del conjunto de datos: Ajustamos el modelo PCA a los datos utilizando la clase PCA de Scikit-learn. Esto nos permite calcular los valores propios y la varianza explicada por cada componente.
2. Seleccionar los componentes principales relevantes: Examinamos el atributo pca.explained_variance_ para identificar los valores propios mayores que 1. Estos valores corresponden a los componentes principales que conservaremos.

Ejemplo práctico: Conjunto de datos de diabetes

Para ilustrar este criterio, utilizaremos el conjunto de datos Diabetes de Scikit-learn. Este conjunto contiene múltiples variables relacionadas con la salud que se usarán para reducir la dimensionalidad del espacio de datos.

Paso 1: Carga y preprocesamiento de los datos

Primero, cargamos los datos y los normalizamos para garantizar que todas las variables contribuyan por igual al análisis.

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.datasets import load_diabetes

# Cargar el conjunto de datos de diabetes
data = load_diabetes()
X = data.data
df = pd.DataFrame(X, columns=data.feature_names)

# Normalizar los datos
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(df)

Paso 2: Aplicar PCA y calcular los valores propios

Después de normalizar los datos, aplicamos PCA para calcular los valores propios utilizando el atributo explained_variance_. Estos valores representan cuánta varianza explica cada componente principal.

# Aplicar PCA
pca = PCA()
pca.fit(X_scaled)

# Obtener valores propios
valores_propios = pca.explained_variance_

# Imprimir valores propios
print("Valores propios de los componentes principales:")
print(valores_propios)

Valores propios de los componentes principales:
[4.03333594 1.49570362 1.20870088 0.95764302 0.66368294 0.60408378
 0.53778235 0.43466544 0.07849762 0.00858014]

En este ejemplo, observamos que solo las tres primeras componentes tienen valores propios mayores que 1, lo que significa que cumplen con el Criterio de Kaiser.

Paso 3: Seleccionar componentes según el Criterio de Kaiser

Ahora, solamente se tiene que contar el número de valores propios que pasan el criterio. Lo que se puede conseguir fácilmente mediante el uso de la función np.sum.

# Seleccionar componentes con valores propios > 1
componentes_kaiser = np.sum(valores_propios > 1)
print(f"Número de componentes seleccionados según el Criterio de Kaiser: {componentes_kaiser}")

Número de componentes seleccionados según el Criterio de Kaiser: 3

Paso 4: Visualizar los valores propios

Para complementar el análisis, podemos visualizar los valores propios en un gráfico de sedimentación (scree plot). Este gráfico muestra cómo disminuyen los valores propios a medida que aumenta el número de componentes. Añadir una línea horizontal en el valor 1 ayuda a identificar visualmente los componentes que cumplen con el Criterio de Kaiser.

import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.plot(range(1, len(valores_propios) + 1), valores_propios, marker='o', linestyle='--', color='b')
plt.axhline(y=1, color='r', linestyle='-')
plt.xlabel('Número de componentes principales')
plt.ylabel('Valores propios (eigenvalues)')
plt.title('Criterio de Kaiser para selección de componentes principales')
plt.grid()
plt.show()

Función en Python para automatizar el Criterio de Kaiser

La siguiente función en Python permite automatizar el proceso de selección de componentes principales basándose en el Criterio de Kaiser. Solo necesitas pasarle los datos para obtener el número óptimo de componentes.

def seleccionar_componentes_kaiser(X):
    """
    Selecciona el número de componentes principales según el Criterio de Kaiser.

    Parámetros:
        X (array-like): Datos de entrada (normalizados).

    Devuelve:
        int: Número de componentes principales seleccionados.
    """
    # Normalizar los datos
    scaler = StandardScaler()
    X_scaled = scaler.fit_transform(X)

    # Aplicar PCA
    pca = PCA()
    pca.fit(X_scaled)

    # Obtener valores propios
    valores_propios = pca.explained_variance_

    # Seleccionar componentes con valores propios > 1
    n_componentes = np.sum(valores_propios > 1)

    return n_componentes

Funciones que se pueden aplicar al conjunto de datos de Diabetes para comprobar que funciona correctamente.

# Ejemplo de uso
n_componentes = seleccionar_componentes_kaiser(df)
print(f"Número de componentes seleccionados: {n_componentes}")

Número de componentes seleccionados: 3

Conclusión

El Criterio de Kaiser es una herramienta sencilla y eficaz para determinar el número de componentes principales a conservar en un análisis PCA. Su interpretación clara y su fácil implementación, como se ha demostrado en esta entrada, lo convierten en una opción excelente para reducir la dimensionalidad de conjuntos de datos. Además, como se ha visto, es posible automatizar este proceso utilizando Python.

Aunque el Criterio de Kaiser puede no ser perfecto en todos los casos, es una alternativa válida al enfoque de la varianza explicada acumulada presentado previamente. Considerar ambas estrategias te permitirá tomar decisiones más informadas al analizar tus datos.

Nota: La imagen de este artículo fue generada utilizando un modelo de inteligencia artificial.