La correlación de Pearson

La correlación de Pearson es una medida estadística que evalúa la relación lineal entre dos variables continuas. Su valor puede variar entre -1 y 1, donde -1 indica una correlación negativa perfecta, 0 ninguna correlación, y 1 una correlación positiva perfecta. Siendo una herramienta fundamental en el campo de la estadística para determinar la fuerza y la dirección de la asociación entre variables.

Base matemática

La fórmula para calcular la correlación de Pearson, a la que generalmente se le denomina con la letra $r$ , se basa en la desviación estándar de las variables respecto al valor de sus medias y sus productos cruzados. Matemáticamente, se define mediante la siguiente expresión: $r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}},$ donde:

$x_i$ y $y_i$ son los valores individuales de las variables.
$\bar{x}$ y $\bar{y}$ son las medias de las variables $x$ e $y$ , respectivamente.
$n$ es el número de observaciones.

Interpretación de los resultados

El resultado del coeficiente de correlación, $r$ , es un valor que puede variar entre -1 y 1. Un valor de 1 indica una correlación positiva perfecta, -1 indica una correlación negativa perfecta y 0 indica la ausencia de correlación lineal. A partir de lo que se puede concluir:

Correlación positiva: Si el coeficiente de correlación de Pearson es mayor que cero, indica que a medida que una variable aumenta, la otra también tiende a aumentar.
Correlación negativa: Si el coeficiente es menor que cero, sugiere que a medida que una variable aumenta, la otra tiende a disminuir.
Sin correlación: Un valor cercano a cero significa que no hay una relación lineal aparente entre las variables.

Es importante destacar que la correlación de Pearson sólo mide relaciones lineales. Por lo tanto, si las variables tienen una relación no lineal, el coeficiente de Pearson puede no ser un indicador fiable.

Aplicaciones de la correlación de Pearson

La correlación de Pearson se utiliza en diversos campos como la economía, la psicología, la biología y otros. Algunas de las aplicaciones más destacadas de esta medida estadística en los diferentes campos son:

Economía: analizar la relación entre variables macroeconómicas como el PIB, la inflación, el desempleo y otros indicadores económicos. Permitiendo a los economistas comprender cómo diferentes factores impactan en la economía de un país y cómo se relacionan entre sí.
Psicología: estudiar la relación entre diferentes variables psicológicas, como el nivel de estrés y el rendimiento académico, la autoestima y la satisfacción laboral, entre otros. Proporcionando información valiosa sobre cómo estas variables afectan el comportamiento de las personas.
Biología: comprender la relación entre variables biológicas, como la temperatura y la tasa de crecimiento de una especie, la concentración de nutrientes y el desarrollo de un organismo, entre otros. Ayudando a los biólogos a comprender los patrones y procesos en los sistemas biológicos.
Medicina: entender la relación entre diferentes factores de riesgo y enfermedades, como el tabaquismo y el cáncer de pulmón, la ingesta de azúcar y la diabetes, entre otros. Permitiendo a los médicos identificar factores de riesgo y desarrollar estrategias de prevención y tratamiento.
Ingeniería: analizar la relación entre variables en diferentes sistemas, como la temperatura y la resistencia de un material, la velocidad del viento y la producción de energía eólica, entre otros. Facilitando a los ingenieros a optimizar el diseño y funcionamiento de sistemas complejos.

Ejemplo de uso de la correlación de Pearson en Python

A modo de ejemplo, se puede usar la correlación de Pearson para analizar la relación entre el rendimiento de dos acciones del mercado financiero: Apple (AAPL) y Microsoft (MSFT). Usando para ello datos históricos de los precios de cierre de ambas acciones. A partir de los cuales se puede calcular la correlación y determinar si existe una relación entre el rendimiento de ambos. Algo que se puede hacer con el siguiente código.

import pandas as pd
import yfinance as yf

# Obtener datos históricos de precios de cierre de acciones de Apple y Microsoft
start_date = '2020-01-01'
end_date = '2024-01-01'

aapl = yf.download('AAPL', start=start_date, end=end_date)['Adj Close']
msft = yf.download('MSFT', start=start_date, end=end_date)['Adj Close']

# Crear un DataFrame con los precios de cierre de ambas acciones
df = pd.DataFrame({'AAPL': aapl, 'MSFT': msft})

# Calcular la correlación de Pearson entre los rendimientos de ambas acciones
correlation = df['AAPL'].corr(df['MSFT'])

print("Correlación de Pearson entre AAPL y MSFT:", correlation)

Correlación de Pearson entre AAPL y MSFT: 0.9392217886519254

En este ejemplo, se usa la biblioteca yfinance para obtener desde Yahoo Finance los datos históricos de los precios de cierre de las acciones de Apple (AAPL) y Microsoft (MSFT) desde el 1 de enero de 2020 hasta el 1 de enero de 2024. Para crear un DataFrame con ambos precios. A partir de este DataFrame, se calcula la correlación de Pearson entre los rendimientos de ambas acciones usando para ello el método corr() de Pandas.

El resultado obtenido es de 0,939, lo que indica una alta correlación positiva.

Conclusiones

La correlación de Pearson es una medida estadística versátil que se utiliza en una amplia gama de campos para analizar la relación entre variables y obtener información útil para la toma de decisiones. Midiendo las relaciones lineales entres diferentes variables. Su aplicación va desde la economía y la psicología hasta la biología, la medicina y la ingeniería, proporcionando una base sólida para la investigación y el análisis en diferentes disciplinas.

Imagen de Ina Hoekstra en Pixabay